数学的发现：对解题的理解研究和讲授

　　目录译者的话第一卷序言第二卷序言修订版序言合订版序言寄言中学教师对读者的提示第一部分 模型第1章 双轨迹的模型 31.1 几何作图 31.2 从例子到数学模型 41.3 例子 51.4 设想、问题已经解出来了 71.5 相似图形的模型 101.6 例子 111.7 辅助图形的模型 16第1章的习题与评注 17第2章 笛卡儿(Deseartes)模型 242.1 笛卡儿和他的万能方法 242.2 一个小问题 252.3 列方程 282.4 课堂举例 312.5 几何中的例子 352.6 一个物理中的例子 412.7 一个益智游戏 432.8 两个迷惑人的例子 45第2章的习题与评注 48第3章 递归 653.1 一个小小发现的故事 653.2 帽子里掏出来的兔子 673.3 不要光看不练 703.4 递归 723.5 符咒Cabracadabra) 743.6 帕斯卡CPascal)三角形 783.7 数学归纳法 803.8 继续前进 833.9 观察…
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　　乔治·波利亚，数学家、教育家，曾任美国国家科学院、美国艺术与科学学院院士，匈牙利科学院荣誉院士，伦敦数学会、瑞士数学会、美国工业数学与应用数学学会荣誉会员，法国巴黎科学院通讯院士。出生于匈牙利布达佩斯，1942年移居美国。获布达佩斯Eotvos Lorand大学数学博士学位。著有《数学的发现》、《数学分析中的问题和定理》、《数学物理中的等周不等式》等。

　　《数学的发现》主要讲解思考方法，思维路线，小到眼前怎样解题，大到如何做学问，怎样发现创造数学里的新命题。作者试图通过一些简单典型的例子，找到它们共同的特征，提炼出思考所遵循的路径，引导读者学习如何去思考问题，分析问题，同时也提供了相当丰富的习题让读者亲自实践。

　　目录译者的话第一卷序言第二卷序言修订版序言合订版序言寄言中学教师对读者的提示第一部分 模型第1章 双轨迹的模型 31.1 几何作图 31.2 从例子到数学模型 41.3 例子 51.4 设想、问题已经解出来了 71.5 相似图形的模型 101.6 例子 111.7 辅助图形的模型 16第1章的习题与评注 17第2章 笛卡儿(Deseartes)模型 242.1 笛卡儿和他的万能方法 242.2 一个小问题 252.3 列方程 282.4 课堂举例 312.5 几何中的例子 352.6 一个物理中的例子 412.7 一个益智游戏 432.8 两个迷惑人的例子 45第2章的习题与评注 48第3章 递归 653.1 一个小小发现的故事 653.2 帽子里掏出来的兔子 673.3 不要光看不练 703.4 递归 723.5 符咒Cabracadabra) 743.6 帕斯卡CPascal)三角形 783.7 数学归纳法 803.8 继续前进 833.9 观察，推广，证明，再证明 84第3章的习题与评注 87第4章 叠加 1094.1 插值法 1094.2 一个特殊情形 1124.3 组合特殊情形以得出一般情形的解 1134.4 数学模型 114第4章的习题与评注 109第二部分通向一般方法第5章 问题 1275.1 什么是问题？ 1275.2 问题的分类 1285.3 求解的问题 1295.4 求证的问题 1315.5 未知量的元，条件的分款 1325.6 所要求的：程序 133第5章的习题与评注 135第6章 扩大模型的范围 1406.1 扩大笛卡儿模型的范围 1406.2 扩大双轨迹模型的范围 1446.3 从哪一个分款着手 1516.4 扩大递归模型的范围 1556.5 未知量的逐步征服 160第6章的习题与评注 161第7章 解题过程的几何图示 1697.1 隐喻 1697.2 问题是什么？ 1707.3 这是一个主意 1717.4 发展我们的想法 1737.5 彻底完成它 1757.6 慢镜头 1767.7 预习 1787.8 计划和程序 1797.9 题中之题 1797.10 想法的产生 1807.11 思维的作用 1807.12 思维的守则 181第7章的习题与评注 181第8章 计划和程序 1918.1 一个制订计划的模型 1918.2 更一般的模型 1938.3 程序 948.4 在几个计划中选择 1968.5 计划与程序 1988.6 模型与计划 199第8章的习题与评注 199第9章 题中之题 2079.1 辅助问题：达到目的的手段 2079.2 等价问题：双侧变形 2099.3 等价问题的链 2109.4 较强或较弱的辅助问题：单侧变形 2119.5 间接的辅助问题 2139.6 材料上的帮助，方法论方面的帮助，激起的联想，导引，演习 214第9章的习题与评注 215第10章 想法的产生 22810.1 一线光明 22810.2 例子 22910.3 辅助想法的特征 23210.4 想法有赖于机会 234第10章的习题与评注 235第11章 思维的作用 23711.1 我们怎样思考 23711.2 有了一个问题 23811.3 相关性 23811.4 接近度 23811.5 预见 23911.6 探索范围 24011.7 决断 24111.8 动员与组织 24211.9 辨认与回忆 24311.10 充实与重新配置 24311.11 分离与组合 24411.12 一张图表 24511.13 部分启示着整体 248第11章的习题与评注 250第12章 思维的守则 25412.1 应该怎样思考 25412.2 集中目标 25512.3 估计前景 25612.4 所要求的：途径 25712.5 所要求的：更有希望的局面 25812.6 所要求的：有关的知识 25912.7 所要求的：重新估计形势 26012.8 提问题的艺术 261第12章的习题与评注 262第13章 发现的规则？ 26813.1 形形色色的规则 26813.2 合理性 26913.3 经济，但并不预加限制 27013.4 坚持，但有变化 27113.5 择优规则 27213.6 问题所固有的材料 27313.7 用得着的知识 27413.8 辅助问题 27513.9 总结 276第13章的习题与评注 277第14章 关于学、教和学教 27914.1 教不是一种科学 27914.2 教学的目标 28014.3 教是一种艺术 28114.4 学习三原则 28314.5 教学的三原则 28514.6 例子 28814.7 学习教学 29414.8 教师的思和行 297第14章的习题与评注 303第15章 猜测和科学方法 32815.1 课堂水平的研究问题 32815.2 例子 32915.3 讨论 33015.4 另一个例子 33115.5 归纳论述的图示 33215.6 一个历史上的例 33515.7 科学的方法：猜测和检验 34315.8 “研究题目”若干应有的特征 34415.9 结论 345第15章的习题与评注 345习题解答 359第一卷附录给教师及教师的教师的提示 438第二卷附录补充习题与解答 442习题 442解答 453参考文献 472后记 476
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　　乔治·波利亚，数学家、教育家，曾任美国国家科学院、美国艺术与科学学院院士，匈牙利科学院荣誉院士，伦敦数学会、瑞士数学会、美国工业数学与应用数学学会荣誉会员，法国巴黎科学院通讯院士。出生于匈牙利布达佩斯，1942年移居美国。获布达佩斯Eotvos Lorand大学数学博士学位。著有《数学的发现》、《数学分析中的问题和定理》、《数学物理中的等周不等式》等。

　　《数学的发现》主要讲解思考方法，思维路线，小到眼前怎样解题，大到如何做学问，怎样发现创造数学里的新命题。作者试图通过一些简单典型的例子，找到它们共同的特征，提炼出思考所遵循的路径，引导读者学习如何去思考问题，分析问题，同时也提供了相当丰富的习题让读者亲自实践。