分析（第2卷）

　　Foreword
　　Chapter Ⅵ Integral calculus in one variable
　　 1 Jump continuous functions
　　 Staircase and jump continuous functions
　　 A characterization of jump continuous functions
　　 The Banach space of jump continuous functions
　　 2 Continuous extensions
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　　As with the first, the second volume contains substantially more material than can be covered in a one-semester course. Such courses may omit many beautiful and well-grounded applications which connect broadly to many areas of mathematics.We of course hope that students will pursue this material independently; teachers may find it useful for undergraduate seminars.

　　Foreword
　　Chapter Ⅵ Integral calculus in one variable
　　 1 Jump continuous functions
　　 Staircase and jump continuous functions
　　 A characterization of jump continuous functions
　　 The Banach space of jump continuous functions
　　 2 Continuous extensions
　　 The extension of uniformly continuous functions
　　 Bounded linear operators
　　 The continuous extension of bounded linear operators
　　 3 The Cauchy-Riemann Integral
　　 The integral of staircase functions
　　 The integral of jump continuous functions
　　 Riemann sums
　　 4 Properties of integrals
　　 Integration of sequences of functions
　　 The oriented integral
　　 Positivity and monotony of integrals
　　 Componentwise integration
　　 The first fundamental theorem of calculus
　　 The indefinite integral
　　 The mean value theorem for integrals
　　 5 The technique of integration
　　 Variable substitution
　　 Integration by parts
　　 The integrals of rational functions
　　 6 Sums and integrals
　　 The Bernoulli numbers
　　 Recursion formulas
　　 The Bernoulli polynomials
　　 The Euler-Maclaurin sum formula
　　 Power sums
　　 Asymptotic equivalence
　　 The Biemann ζ function
　　 The trapezoid rule
　　 7 Fourier series
　　 The L2 scalar product
　　 Approximating in the quadratic mean
　　 Orthonormal systems
　　 Integrating periodic functions
　　 Fourier coefficients
　　 Classical Fourier series
　　 Bessel's inequality
　　 Complete orthonormal systems
　　 Piecewise continuously differentiable functions
　　 Uniform convergence
　　 8 Improper integrals
　　 Admissible functions
　　 Improper integrals
　　 The integral comparison test for series
　　 Absolutely convergent integrals
　　 The majorant criterion
　　 9 The gamma function
　　 Euler's integral representation
　　 The gamma function on C\（-N）
　　 Gauss's representation formula
　　 The reflection formula
　　 The logarithmic convexity of the gamma function
　　 Stirling's formula
　　 The Euler beta integral
　　Chapter Ⅶ Multivariable differential calculus
　　 1 Continuous linear maps
　　 The completeness of/L（E, F）
　　 Finite-dimensional Banach spaces
　　 Matrix representations
　　 The exponential map
　　 Linear differential equations
　　 Gronwall's lemma
　　 The variation of constants formula
　　 Determinants and eigenvalues
　　 Fundamental matrices
　　 Second order linear differential equations
　　 Differentiability
　　 The definition
　　 The derivative
　　 Directional derivatives
　　 Partial derivatives
　　 The Jacobi matrix
　　 A differentiability criterion
　　 The Riesz representation theorem
　　 The gradient
　　 Complex differentiability
　　 Multivariable differentiation rules
　　 Linearity
　　 The chain rule
　　 The product rule
　　 The mean value theorem
　　 The differentiability of limits of sequences of functions
　　 Necessary condition for local extrema
　　 Multilinear maps
　　 Continuous multilinear maps
　　 The canonical isomorphism
　　 Symmetric multilinear maps
　　 The derivative of multilinear maps
　　 Higher derivatives
　　 Definitions
　　 Higher order partial derivatives
　　 The chain rule
　　 Taylor's formula
　　 Functions of m variables
　　 Sufficient criterion for local extrema
　　 6 Nemytskii operators and the calculus of variations
　　 Nemytskii operators
　　 The continuity of Nemytskii operators
　　 The differentiability of Nemytskii operators
　　 The differentiability of parameter-dependent integrals
　　 Variational problems
　　 The Euler-Lagrange equation
　　 Classical mechanics
　　 7 Inverse maps
　　 The derivative of the inverse of linear maps
　　 The inverse function theorem
　　 Diffeomorphisms
　　 The solvability of nonlinear systems of equations
　　 8 Implicit functions
　　 Differentiable maps on product spaces
　　 The implicit function theorem
　　 Regular values
　　 Ordinary differential equations
　　 Separation of variables
　　 Lipschitz continuity and uniqueness
　　 The Picard-Lindelof theorem
　　 9 Manifolds
　　 Submanifolds of Rn
　　 Graphs
　　 The regular value theorem
　　 The immersion theorem
　　 Embeddings
　　 Local charts and parametrizations
　　 Change of charts
　　 10 Tangents and normals
　　 The tangential in Rn
　　 The tangential space
　　 Characterization of the tangential space
　　 Differentiable maps
　　 The differential and the gradient
　　 Normals
　　 Constrained extrema
　　 Applications of Lagrange multipliers
　　Chapter Ⅷ Line integrals
　　 1 Curves and their lengths
　　 The total variation
　　 Rectifiable paths
　　 Differentiable curves
　　 Rectifiable curves
　　 2 Curves in Rn
　　 Unit tangent vectors
　　 Paramctrization by arc length
　　 Oriented bases
　　 The Frenet n-frame
　　 Curvature of plane curves
　　 Identifying lines and circles
　　 Instantaneous circles along curves
　　 The vector product
　　 The curvature and torsion of space curves
　　 3 Pfaff forms
　　 Vector fields and Pfaff forms
　　 The canonical basis
　　 Exact forms and gradient fields
　　 The Poincare lemma
　　 Dual operators
　　 Transformation rules
　　 Modules
　　 4 Line integrals
　　 The definition
　　 Elementary properties
　　 The fundamental theorem of line integrals
　　 Simply connected sets
　　 The homotopy invariance of line integrals
　　 5 Holomorphic functions
　　 Complex line integrals
　　 Holomorphism
　　 The Cauchy integral theorem
　　 The orientation of circles
　　 The Cauchy integral formula
　　 Analytic functions
　　 Liouville's theorem
　　 The Fresnel integral
　　 The maximum principle
　　 Harmonic functions
　　 Goursat's theorem
　　 The Weierstrass convergence theorem
　　 6 Meromorphie functions
　　 The Laurent expansion
　　 Removable singularities
　　 Isolated singularities
　　 Simple poles
　　 The winding number
　　 The continuity of the winding number
　　 The generalized Cauchy integral theorem
　　 The residue theorem
　　 Fourier integrals
　　References
　　Index   
^ 收 起　　

　　As with the first, the second volume contains substantially more material than can be covered in a one-semester course. Such courses may omit many beautiful and well-grounded applications which connect broadly to many areas of mathematics.We of course hope that students will pursue this material independently; teachers may find it useful for undergraduate seminars.