代数拓扑中微分形式

　　Introduction
　　CHAPTER Ⅰ
　　De Rham Theory
　　§1 The de Rham Complex on R
　　The de Rham complex
　　Compact supports
　　§2 The Mayer-Vietoris Sequence
　　ThefunctorQ
　　The Mayer-Vietoris sequence
　　The functor and the Mayer—Vietoris sequence for compact supports
　　§3 Orientation and Integration
　　Orientation and the integral of a differential form
　　Stokes’theorem
　　§4 Poincar6 Lemmas
　　The Poincare lemmafordeRham~ohomoiogy
　　The Poincare lemma for compactly supported cohomology
　　The degree of a propermap
　　§5 The Mayer-Vietoris Argument
　　Existence of a good cover
　　Finite dimensionality of de Rham cohomology
　　Poincar6 duality on an orientable manifold
　　The Kiinneth formula and the Leray-Hirsch theorem
　　The Poincar6 dual of a closed oriented submanifold
　　§6 The Thorn Isomorphism
　　Vector bundles and the reduction of structure groups
　　Operations on vector bundles
　　Compact cohomology of a vector bundle
　　Compact vertical cohomology and integration along the fiber
　　Poincar6 duality and the Thorn class
　　The global angular form，the Euler class，and the Thorn class
　　Relative de Rham theory
　　§7 The Nonorientable Case
　　The twisted de Rham COD rplex
　　Integration of densities，Poincard duality，and the Thom isomorphism
　　CHAPTER Ⅱ
　　The Cech——de Rham Complex
　　§8 The Generalized Mayer-Vietoris Principle
　　Reformulation of the Mayer-Vietoris sequence
　　Generalization to countably many open sets and applications
　　§9 More Examples and Applications of the Mayer—Vietoris Principle
　　Examples：computing the de Rham cohomology from the
　　combinatorics of a good cover
　　Explicit isomorphisms between the double complex and de Rham and each
　　The tic—tac-toe proof of the Kfinneth formula
　　§10 Presheaves and Cech Cohomology
　　Presheaves
　　Cech cohomology
　　§11 Sphere Bundles
　　Orientability
　　The Euler class of an oriented sphere bundle
　　The global angular form
　　Euler number and the isolated singularities of a section
　　Euler characteristic and the Hopf index theorem
　　§12 The Thorn Isomorphism and Poincar6 Duality Revisited
　　The Thorn isomorphism
　　Euler class and the zcr0 locus of a section
　　A tic—tac-toe lemma
　　Poincar6 duality
　　§13 Monodromy
　　When is a locally constant presheaf constant?
　　Examples of monodromy
　　CHAPTER Ⅲ
　　Spectral Sequences and Applications
　　§14 The Spectral Sequence of a Filtered Complex
　　Exact Couples
　　The spectral sequence of a filtered complex
　　The spectral sequence of a double complex
　　The spectral sequence of a fiber bundle
　　Some applications
　　PfodUct structures
　　The Gysin sequence
　　Leray’S construction
　　§15 Cohomology with Integer Coefficients
　　Singular homology
　　The cone construction
　　The Mayer-Vietoris sequence for singular chains
　　Singular cohomology
　　The homology spectral sequence
　　§16 The Path Fibration
　　The pathfibration
　　The cohomology of the loop space of a sphere
　　§17 Review of Homotopy Theory
　　Homotopy groups
　　The relative homotopy sequence
　　Some homotopy groups of the spheres
　　Attaching cells
　　Digression on Morse theory
　　The relation between homotopy and homology
　　π3(S2)and the Hopf invariant
　　§18 Applications to Homotopy Theory
　　Eilenberg-MacLane spaces
　　The telescoping construction
　　The cohomology of K(Z，3)
　　Thetransgression
　　Basic tricks of the trade
　　Postnikov approximation
　　Computation ofπ4(S3)
　　The Whitehead tower
　　Computation of π5(S3)
　　§19 Rational Homotopy Theory
　　Minimal modds
　　Examples of Minimal Models
　　The main theorem and applications
　　CHAPTER Ⅳ
　　Characteristic Classes
　　§20 Chern Classes of a Complex Vector Bundle
　　The first Chern class of a complex line bundle
　　The projectivization of a vector bundle
　　Main properties of the Chern classes
　　§21 The Splitting Principle and Flag Manifolds
　　The splitting principle
　　Proof of the Whitney product formula and the equality
　　of the top Chern class and the Euler class
　　Computation of some Chern classes
　　Flag manifolds
　　§22 Pontrjagin Classes
　　Conjugate bundl
　　Realization and complexification
　　The Pontrjagin classes of a real vector bundle
　　Application to the embedding of a manifold in a
　　Euclidean space
　　§23 The Search for the Universal Bund
　　The Grassmannian
　　Digression on the Poincar6 series of a graded algebra
　　The classification of vector bundles
　　The infinite Grassmannian
　　Concluding remarks
　　References
　　List of Notations
　　Index

　　The guiding principle in this book is to use differential forms as an aid inexploring some of the less digestible aspects of algebraic topology. Accord-ingly， we move primarily in the realm of smooth manifolds and use thede Rham theory as a prototype of all of cohomology. For applications tohomotopy theory we also discuss by way of analogy cohomoiogy witharbitrary coefficients. Although we have in mind an audience with prior exposure to algebraicor differential topology， for the most part a good knowledge of linearalgebra， advanced calculus， and point-set topology should suffice. Someacquaintance with manifolds， simplicial complexes， singular homology andcohomology， and homotopy groups is helpful， but not really necessary.Within the text itself we have stated with care the more advanced resultsthat are needed， so that a mathematically mature reader who accepts thesebackground materials on faith should be able to read the entire book withthe minimal prerequisites.