数学分析中的典型问题与方法（第2版）

　　代序
　　笔者的话
　　再版前言
　　符号
　　第一章 一元函数极限
　　§1.1 函数
　　*一、关于反函数
　　二、奇函数、偶函数
　　三、周期函数
　　☆四、几个常用的不等式
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　　本书是为正在学习数学分析（微积分）的读者、正在复习数学分析（微积分）准备报考研究生的读者以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的。
　　遵循现行教材的顺序，本书全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型，每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有相当难度的例题，逐层剖析，分类讲解。然后分别配备相应的一套练习。旨在拓宽基础，启发思路，培养学生分析问题和解决问题的能力，作为教材的补充和延伸。此外，对现行教材中比较薄弱的部分，如半连续、凸函数、不等式、等度连续等内容，作了适当扩充。
　　全书共分7章、36节、246个条目、l382个问题，包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数；多元函数极限、连续、微分、积分。
　　本书大量采用全国部分高校历届硕士研究生数学分析入学试题和部分国外赛题，…
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　　《数学分析中的典型问题与方法》是为正在学习数学分析（微积分）的读者、正在复习数学分析（微积分）准备报考研究生的读者以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的。
　　遵循现行教材的顺序，《数学分析中的典型问题与方法》全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型，每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有相当难度的例题，逐层剖析，分类讲解。然后分别配备相应的一套练习。旨在拓宽基础，启发思路，培养学生分析问题和解决问题的能力，作为教材的补充和延伸。此外，对现行教材中比较薄弱的部分，如半连续、凸函数、不等式、等度连续等内容，作了适当扩充。

　　代序
　　笔者的话
　　再版前言
　　符号
　　第一章 一元函数极限
　　§1.1 函数
　　*一、关于反函数
　　二、奇函数、偶函数
　　三、周期函数
　　☆四、几个常用的不等式
　　※五、求递推数列的通项
　　*§1.2 用定义证明极限的存在性
　　一、用定义证明极限
　　二、用Cauchy准则证明极限
　　三、否定形式
　　四、利用单调有界原理证明极限存在
　　五、数列与子列，函数与数列的极限关系
　　六、极限的运算性质
　　☆§1.3 求极限值的若干方法
　　一、利用等价代换和初等变形求极限
　　a.等价代换（33）b.利用初等变形求极限（34）
　　二、利用已知极限
　　三、利用变量替换求极限
　　四、两边夹法则
　　五、两边夹法则的推广形式
　　☆六、求极限其他常用方法
　　a.LHospital（常被译为洛必达）法则
　　☆b.利用
　　Taylor公式求极限
　　☆c.利用积分定义求极限
　　☆d.利用级数求解极限问题
　　e.利用连续性求极限
　　☆f.综合性例题
　　§1.4 O.Sto1z公式
　　一、数列的情况
　　※二、函数极限的情况
　　☆§1.5 递推形式的极限
　　☆一、利用存在性求极限
　　二、写出通项求极限
　　三、替换与变形
　　※四、图解法
　　※五、不动点方法的推广
　　六、Stolz公式的应用
　　**§1.6 序列的上、下极限
　　一、利用￡-N语言描述上、下极限
　　二、利用子序列的极限描述上、下极限
　　三、利用确界的极限描述上、下极限
　　四、利用上、下极限研究序列的极限
　　五、上、下极限的运算性质
　　**§1.7 函数的上、下极限
　　一、函数上、下极限的定义及等价描述
　　二、单侧上、下极限
　　三、函数上、下极限的不等式
　　*§1.8 实数及其基本定理
　　一、实数的引入
　　二、实数基本定理
　　第二章 一元函数的连续性
　　*§2.1 连续性的证明与应用
　　*一、连续性的证明
　　二、连续性的应用
　　*§2.2 一致连续性
　　一、利用一致连续的定义及其否定形式证题
　　二、一致连续与连续的关系
　　三、用连续模数描述一致连续性
　　※四、集上的连续函数及一致连续函数的延拓问题
　　※§2.3 上、下半连续
　　一、上、下半连续的定义与等价描述
　　二、上（下）半连续的性质
　　a.运算性质
　　b.保号性
　　c.无介值性
　　d.关于f（x）的界
　　※§2.4 函数方程
　　一、问题的提出
　　二、求解函数方程
　　a.推归法
　　b.转化法
　　c.利用微分方程
　　第三章 一元微分学
　　§3.1 导数
　　*一、关于导数的定义与可微性
　　☆二、高阶导数与Leibniz公式
　　a.先拆项再求导
　　b.直接使用Leibniz公式
　　c.用数学归纳法求高阶导数
　　d.用递推公式求导
　　e.用Taylor展式求导数
　　☆§3.2 微分中值定理
　　一、Rolle定理
　　a.函数零（值）点问题
　　b.证明中值公式
　　二、Lagrange定理
　　a.利用几何意义（弦线法）
　　b.利用有限增量公式导出新的中值公式
　　c.作为函数的变形
　　d.用导数法证明恒等式
　　三、导数的两大特性
　　a.导数无第一类间断
　　b.导数的介值性
　　四、Cauchy中值定理
　　a.推导中值公式
　　b.作为函数与导数的关系
　　☆§3.3 Taylor公式
　　一、证明中值公式
　　二、用Taylor公式证明不等式
　　三、用Taylor公式作导数的中值估计
　　四、关于界的估计
　　五、求无穷远处的极限
　　六、中值点的极限
　　七、函数方程中的应用
　　八、Tavlor展开的唯一性问题
　　§3.4 不等式与凸函数
　　☆一、不等式
　　a.利用单调性证明不等式
　　b.利用微分中值定理证明不等式
　　c.利用Taylor公式证明不等式
　　d.用求极值的方法证明不等式
　　e.利用单调极限证明不等式
　　二、凸函数
　　a.凸函数的几种定义以及它们的关系
　　b.凸函数的等价描述
　　c.凸函数的性质及应用
　　☆§3.5 导数的综合应用
　　一、极值问题
　　二、导数在几何中的应用
　　三、导数的实际应用
　　四、导数在求极限中的应用
　　第四章 一元函数积分学
　　§4.1 积分与极限
　　一、利用积分求极限
　　二、积分的极限
　　**§4.2 定积分的可积性
　　一、直接用定义证明可积性
　　……
　　第五章 级数
　　第六章 多元函数微分学
　　第七章 多元积分学
^ 收 起　　

　　本书是为正在学习数学分析（微积分）的读者、正在复习数学分析（微积分）准备报考研究生的读者以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的。
　　遵循现行教材的顺序，本书全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型，每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有相当难度的例题，逐层剖析，分类讲解。然后分别配备相应的一套练习。旨在拓宽基础，启发思路，培养学生分析问题和解决问题的能力，作为教材的补充和延伸。此外，对现行教材中比较薄弱的部分，如半连续、凸函数、不等式、等度连续等内容，作了适当扩充。
　　全书共分7章、36节、246个条目、l382个问题，包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数；多元函数极限、连续、微分、积分。
　　本书大量采用全国部分高校历届硕士研究生数学分析入学试题和部分国外赛题，并参阅了70余种教材、文献及参考书，经过反复推敲、修改和筛选，在几代人长期教学实践的基础上编写而成。选题具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性，对培养学生的能力极为有益，可供数学院（系）各专业师生及有关读者参考，书中基本内容（不标*、※符号）也可供参加研究生入学考试数学一的考生选择阅读。
　　此次改版，补充、更新了大量有代表性的新试题、基础性题。增设了“导读”栏目。习题给了提示、再提示或解答。
　　题目按难易，分为五个档次，☆部分是重点推荐内容，☆号题约420道（占题目总数的三分之一）。酌情选读可大大减轻负担和压力。
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　　《数学分析中的典型问题与方法》是为正在学习数学分析（微积分）的读者、正在复习数学分析（微积分）准备报考研究生的读者以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的。
　　遵循现行教材的顺序，《数学分析中的典型问题与方法》全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型，每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有相当难度的例题，逐层剖析，分类讲解。然后分别配备相应的一套练习。旨在拓宽基础，启发思路，培养学生分析问题和解决问题的能力，作为教材的补充和延伸。此外，对现行教材中比较薄弱的部分，如半连续、凸函数、不等式、等度连续等内容，作了适当扩充。