高等代数中的典型问题与方法（第二版）
目 录内容简介
《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》是为正在学习高等代数的读者、正在复习高等代数准备报考研究生的读者，以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的.
《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》与北京大学数学系几何与代数教研组编写的《高等代数（第三版）》相配套，在编写上也遵循此教材的顺序. 全面、系统地总结和归纳了高等代数中问题的基本类型、每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有一定难度的例题，逐层剖析. 对一些较难理解的问题，在适当的章节做了专题研究，进行了较深入的探讨和总结，如：线性变换的对角化、矩阵分解等问题，以消除读者长期以来对其抽象问题在理解上含糊不清的疑虑，从而更深入地领会问题.
《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》与北京大学数学系几何与代数教研组编写的《高等代数（第三版）》相配套，在编写上也遵循此教材的顺序. 全面、系统地总结和归纳了高等代数中问题的基本类型、每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有一定难度的例题，逐层剖析. 对一些较难理解的问题，在适当的章节做了专题研究，进行了较深入的探讨和总结，如：线性变换的对角化、矩阵分解等问题，以消除读者长期以来对其抽象问题在理解上含糊不清的疑虑，从而更深入地领会问题.
目 录内容简介
目录
第二版前言
第一版前言
常用符号
第1章多项式1
1.1多项式的概念与运算1
一、多项式的基本概念1
二、多项式的运算2
练习 1.1 2
1.2多项式的整除2
一、带余除法和综合除法2
二、整除4
三、昀大公因式及其求法5
四、多项式的互素7
练习 1.2 9
1.3多项式的因式分解10
一、不可约多项式10
二、k重因式12
三、多项式函数13
四、一般数域上的因式分解及根的性质15
五、复数域上多项式的因式分解及根的性质16
六、实数域上多项式的因式分解及根的性质17
七、有理数域上多项式的因式分解及根的性质19
练习 1.3 22
1.4注记23
第2章行列式24
2.1用定义计算行列式24
练习 2.1 25
2.2求行列式的若干方法25
一、三角化法26
二、用行列式的性质化为已知行列式26
三、滚动相消法27
四、拆分法29
五、加边法31
六、归纳法32
七、利用递推降级法33
八、利用重要公式与结论35
九、用幂级数变换计算行列式36
练习 2.2 38
2.3利用降级公式计算行列式42
练习 2.3 48
2.4有关行列式的证明题49
练习 2.4 50
2.5一个行列式的计算和推广51
一、Dn的计算52
二、问题的推广54
第3章线性方程组56
3.1线性相关性(Ⅰ)56
一、线性相关56
二、线性无关57
三、综合性问题61
练习 3.1 63
3.2矩阵的秩64
练习 3.2 67
3.3线性方程组的解67
一、线性方程组的几种表示形式67
二、线性方程组有解的判定及解的个数68
三、线性方程组解的结构70
练习 3.3 77
第4章矩阵81
4.1矩阵的基本运算81
一、矩阵的加法和数乘81
二、矩阵的乘法82
三、矩阵的转置83
四、矩阵的伴随84
练习 4.1 87
4.2矩阵的逆88
一、矩阵逆的性质88
二、矩阵逆的求法(Ⅰ)88
三、矩阵不可逆的证明方法89
四、矩阵多项式的逆(Ⅱ)90
练习 4.2 91
4.3矩阵的分块91
一、分块阵的乘法及其应用91
二、分块阵的广义初等变换92
三、关于分块阵的逆(Ⅲ)93
练习 4.3 94
4.4初等矩阵95
一、初等矩阵及其性质95
二、初等变换的应用96
三、利用初等变换求矩阵的逆(Ⅳ)99
四、矩阵的等价100
练习 4.4 100
4.5若干不等式101
一、Steinitz替换定理及其应用101
二、利用整齐与局部的思想(实例)102
练习 4.5 104
第5章二次型105
5.1二次型与矩阵105
一、二次型的概念及其表示105
二、二次型与对称矩阵(Ⅰ)106
练习 5.1 107
5.2标准形和规范形107
一、标准形107
二、规范形及其唯一性111
三、(反)对称矩阵(Ⅱ)112
练习 5.2 113
5.3正定二次型114
一、正定二次型的判定114
二、正定矩阵的判定117
练习 5.3 118
5.4其他各类二次型120
一、负定二次型120
二、半正(负)定二次型122
5.5不等式与二次型(实例)123
5.6注记124
第6章线性空间125
6.1线性空间的定义125
一、用定义证明线性空间125
二、几个常用的线性空间125
三、向量组的线性相关性126
练习 6.1 126
6.2基与维数变换公式127
一、基与维数的求法127
二、基变换公式128
三、同一向量在不同基下的坐标(“3推 1”公式Ⅰ)129
四、坐标的求法130
练习 6.2 131
6.3子空间及其运算131
一、子空间的判定131
二、子空间的运算134
三、直和的证明137
四、子空间的性质137
练习 6.3 139
6.4不等式141
练习 6.4 143
第7章线性变换144
7.1线性变换及其运算144
一、线性变换的判定及其性质144
二、线性变换的多项式146
练习 7.1 146
7.2线性变换与矩阵147
一、线性变换的矩阵147
二、一一对应关系148
三、矩阵的相似150
四、向量与其象向量的坐标(“3推 1”公式Ⅱ)151
五、同一线性变换在不同基下的矩阵(“3推 1”公式Ⅲ)152
练习 7.2 153
7.3矩阵(线性变换)的特征值与特征向量155
一、矩阵的特征值与特征向量求法155
二、矩阵特征值的和与积159
三、代数重数与几何重数160
四、扰动法(实例)161
练习 7.3 161
7.4线性变换(矩阵)的对角化问题(Ⅰ)163
一、利用特征向量判定163
二、利用特征值判定164
练习 7.4 166
7.5不变子空间168
一、不变子空间的判定168
二、特征子空间169
三、值域170
四、核171
练习 7.5 174
7.6线性空间的分解177
一、多项式理论与线性空间分解初步177
二、线性空间的分解179
练习 7.6 179
第8章 λ-矩阵181
8.1 λ-矩阵的有关概念及结论181
一、λ-矩阵的相关概念181
二、不变因子，行列式因子与初等因子182
练习 8.1 184
8.2矩阵相似的条件185
一、矩阵相似与λ-矩阵等价之间的关系185
二、矩阵相似的充要条件185
练习 8.2 186
8.3矩阵的 Jordan标准形186
一、Jordan标准形及其求法186
二、Jordan块的性质及其应用190
练习 8.3 195
8.4Jordan标准形的相似过渡阵的求法197
练习 8.4 201
8.5昀小多项式202
一、昀小多项式及其性质202
二、昀小多项式的求法204
三、昀小多项式的应用(实例)208
练习 8.5 209
8.6矩阵的对角化问题( Ⅱ)210
一、利用昀小多项式判定矩阵的对角化210
二、常见的几类可对角化矩阵211
练习 8.6 211
8.7矩阵方幂的若干求法212
一、秩为 1的情况212
二、可分解为数量矩阵和幂零矩阵之和的情况213
三、归纳法(实例)214
四、利用相似变换法215
五、特征多项式法(或昀小多项式法)216
六、利用 Jordan标准形(实例)217
练习 8.7 218
第9章欧几里得空间220
9.1欧氏空间及其基本性质220
一、欧氏空间的基本概念220
二、不等式222
三、度量矩阵及其性质223
四、内积的矩阵表示(“3推 1”公式Ⅳ)224五、不同基的度量矩阵之间的关系(“3推 1”公式Ⅴ)225
练习 9.1 226
9.2标准正交基226
一、标准正交基及其性质226
二、标准正交基的求法226
三、正交矩阵及其性质229
练习 9.2 230
9.3子空间231
一、子空间的正交及其性质231
二、正交补231
练习 9.3 233
9.4欧氏空间上的线性变换234
一、正交变换234
二、对称变换236
三、反对称变换237
四、(反)对称矩阵(Ⅲ)237
练习 9.4 239
9.5矩阵分解241
一、加法分解241
二、乘法分解243
三、特殊矩阵的分解245
练习 9.5 247
练习答案249
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第1章多项式1
1.1多项式的概念与运算1
一、多项式的基本概念1
二、多项式的运算2
练习 1.1 2
1.2多项式的整除2
一、带余除法和综合除法2
二、整除4
三、昀大公因式及其求法5
四、多项式的互素7
练习 1.2 9
1.3多项式的因式分解10
一、不可约多项式10
二、k重因式12
三、多项式函数13
四、一般数域上的因式分解及根的性质15
五、复数域上多项式的因式分解及根的性质16
六、实数域上多项式的因式分解及根的性质17
七、有理数域上多项式的因式分解及根的性质19
练习 1.3 22
1.4注记23
第2章行列式24
2.1用定义计算行列式24
练习 2.1 25
2.2求行列式的若干方法25
一、三角化法26
二、用行列式的性质化为已知行列式26
三、滚动相消法27
四、拆分法29
五、加边法31
六、归纳法32
七、利用递推降级法33
八、利用重要公式与结论35
九、用幂级数变换计算行列式36
练习 2.2 38
2.3利用降级公式计算行列式42
练习 2.3 48
2.4有关行列式的证明题49
练习 2.4 50
2.5一个行列式的计算和推广51
一、Dn的计算52
二、问题的推广54
第3章线性方程组56
3.1线性相关性(Ⅰ)56
一、线性相关56
二、线性无关57
三、综合性问题61
练习 3.1 63
3.2矩阵的秩64
练习 3.2 67
3.3线性方程组的解67
一、线性方程组的几种表示形式67
二、线性方程组有解的判定及解的个数68
三、线性方程组解的结构70
练习 3.3 77
第4章矩阵81
4.1矩阵的基本运算81
一、矩阵的加法和数乘81
二、矩阵的乘法82
三、矩阵的转置83
四、矩阵的伴随84
练习 4.1 87
4.2矩阵的逆88
一、矩阵逆的性质88
二、矩阵逆的求法(Ⅰ)88
三、矩阵不可逆的证明方法89
四、矩阵多项式的逆(Ⅱ)90
练习 4.2 91
4.3矩阵的分块91
一、分块阵的乘法及其应用91
二、分块阵的广义初等变换92
三、关于分块阵的逆(Ⅲ)93
练习 4.3 94
4.4初等矩阵95
一、初等矩阵及其性质95
二、初等变换的应用96
三、利用初等变换求矩阵的逆(Ⅳ)99
四、矩阵的等价100
练习 4.4 100
4.5若干不等式101
一、Steinitz替换定理及其应用101
二、利用整齐与局部的思想(实例)102
练习 4.5 104
第5章二次型105
5.1二次型与矩阵105
一、二次型的概念及其表示105
二、二次型与对称矩阵(Ⅰ)106
练习 5.1 107
5.2标准形和规范形107
一、标准形107
二、规范形及其唯一性111
三、(反)对称矩阵(Ⅱ)112
练习 5.2 113
5.3正定二次型114
一、正定二次型的判定114
二、正定矩阵的判定117
练习 5.3 118
5.4其他各类二次型120
一、负定二次型120
二、半正(负)定二次型122
5.5不等式与二次型(实例)123
5.6注记124
第6章线性空间125
6.1线性空间的定义125
一、用定义证明线性空间125
二、几个常用的线性空间125
三、向量组的线性相关性126
练习 6.1 126
6.2基与维数变换公式127
一、基与维数的求法127
二、基变换公式128
三、同一向量在不同基下的坐标(“3推 1”公式Ⅰ)129
四、坐标的求法130
练习 6.2 131
6.3子空间及其运算131
一、子空间的判定131
二、子空间的运算134
三、直和的证明137
四、子空间的性质137
练习 6.3 139
6.4不等式141
练习 6.4 143
第7章线性变换144
7.1线性变换及其运算144
一、线性变换的判定及其性质144
二、线性变换的多项式146
练习 7.1 146
7.2线性变换与矩阵147
一、线性变换的矩阵147
二、一一对应关系148
三、矩阵的相似150
四、向量与其象向量的坐标(“3推 1”公式Ⅱ)151
五、同一线性变换在不同基下的矩阵(“3推 1”公式Ⅲ)152
练习 7.2 153
7.3矩阵(线性变换)的特征值与特征向量155
一、矩阵的特征值与特征向量求法155
二、矩阵特征值的和与积159
三、代数重数与几何重数160
四、扰动法(实例)161
练习 7.3 161
7.4线性变换(矩阵)的对角化问题(Ⅰ)163
一、利用特征向量判定163
二、利用特征值判定164
练习 7.4 166
7.5不变子空间168
一、不变子空间的判定168
二、特征子空间169
三、值域170
四、核171
练习 7.5 174
7.6线性空间的分解177
一、多项式理论与线性空间分解初步177
二、线性空间的分解179
练习 7.6 179
第8章 λ-矩阵181
8.1 λ-矩阵的有关概念及结论181
一、λ-矩阵的相关概念181
二、不变因子，行列式因子与初等因子182
练习 8.1 184
8.2矩阵相似的条件185
一、矩阵相似与λ-矩阵等价之间的关系185
二、矩阵相似的充要条件185
练习 8.2 186
8.3矩阵的 Jordan标准形186
一、Jordan标准形及其求法186
二、Jordan块的性质及其应用190
练习 8.3 195
8.4Jordan标准形的相似过渡阵的求法197
练习 8.4 201
8.5昀小多项式202
一、昀小多项式及其性质202
二、昀小多项式的求法204
三、昀小多项式的应用(实例)208
练习 8.5 209
8.6矩阵的对角化问题( Ⅱ)210
一、利用昀小多项式判定矩阵的对角化210
二、常见的几类可对角化矩阵211
练习 8.6 211
8.7矩阵方幂的若干求法212
一、秩为 1的情况212
二、可分解为数量矩阵和幂零矩阵之和的情况213
三、归纳法(实例)214
四、利用相似变换法215
五、特征多项式法(或昀小多项式法)216
六、利用 Jordan标准形(实例)217
练习 8.7 218
第9章欧几里得空间220
9.1欧氏空间及其基本性质220
一、欧氏空间的基本概念220
二、不等式222
三、度量矩阵及其性质223
四、内积的矩阵表示(“3推 1”公式Ⅳ)224五、不同基的度量矩阵之间的关系(“3推 1”公式Ⅴ)225
练习 9.1 226
9.2标准正交基226
一、标准正交基及其性质226
二、标准正交基的求法226
三、正交矩阵及其性质229
练习 9.2 230
9.3子空间231
一、子空间的正交及其性质231
二、正交补231
练习 9.3 233
9.4欧氏空间上的线性变换234
一、正交变换234
二、对称变换236
三、反对称变换237
四、(反)对称矩阵(Ⅲ)237
练习 9.4 239
9.5矩阵分解241
一、加法分解241
二、乘法分解243
三、特殊矩阵的分解245
练习 9.5 247
练习答案249
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《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》是为正在学习高等代数的读者、正在复习高等代数准备报考研究生的读者，以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的.
《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》与北京大学数学系几何与代数教研组编写的《高等代数（第三版）》相配套，在编写上也遵循此教材的顺序. 全面、系统地总结和归纳了高等代数中问题的基本类型、每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有一定难度的例题，逐层剖析. 对一些较难理解的问题，在适当的章节做了专题研究，进行了较深入的探讨和总结，如：线性变换的对角化、矩阵分解等问题，以消除读者长期以来对其抽象问题在理解上含糊不清的疑虑，从而更深入地领会问题.
《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》与北京大学数学系几何与代数教研组编写的《高等代数（第三版）》相配套，在编写上也遵循此教材的顺序. 全面、系统地总结和归纳了高等代数中问题的基本类型、每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有一定难度的例题，逐层剖析. 对一些较难理解的问题，在适当的章节做了专题研究，进行了较深入的探讨和总结，如：线性变换的对角化、矩阵分解等问题，以消除读者长期以来对其抽象问题在理解上含糊不清的疑虑，从而更深入地领会问题.
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