目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 引言 1
1.2 几个例子 2
1.3 《新课标》的要求 5
思考题 8
第2章 集合论观点下的中学数学 9
2.1 朴素集合论与公理集合论 9
2.1.1 朴素集合论 9
2.1.2 公理集合论 13
2.2 笛卡儿积与关系 18
2.2.1 笛卡儿积 18
2.2.2 关系 19
2.2.3 等价关系与序关系 20
2.3 集合论观点下的某些中学数学问题的解释 22
2.3.1 数集的扩张 22
2.3.2 函数概念的演化 24
2.3.3 对复数集的再认识 26
思考题 28
第3章 数学分析观点下的中学数学 30
3.1 数学分析发展简史 30
3.2 从数学分析中的实数公理看中学数学 33
3.3 数学分析的辩证观点对中学数学解题策略的指导 37
3.3.1 分合并用 38
3.3.2 进退互化 43
3.3.3 动静转换 48
3.3.4 正反相辅 51
3.4 数学分析的方法在中学数学中的应用 55
3.4.1 构造辅助函数的方法 58
3.4.2 母函数方法 61
3.4.3 琴生不等式的应用 66
3.4.4 连续函数介值定理的应用 67
3.5 e和π超越性的证明 72
3.5.1 代数数的概念及性质 73
3.5.2 e的超越性 73
3.5.3 π的超越性 76
思考题 77
第4章 代数学观点下的中学数学 78
4.1 代数学发展简史 78
4.1.1 古典代数是以方程的研究为中心的 78
4.1.2 近世代数是以研究各种代数结构为中心的 82
4.2 中学数学某些问题的代数学解释 83
4.2.1 方程组的同解变形理论 83
4.2.2 尺规作图问题 88
4.3 伽罗瓦理论与代数方程的公式解 95
4.3.1 单群 95
4.3.2 可解群 99
4.3.3 正规扩域 100
4.3.4 伽罗瓦群 101
4.4 多项式理论与中学数学竞赛 107
4.4.1 基本知识 107
4.4.2 与多项式有关的数学竞赛试题解析 109
思考题 117
第5章 几何学观点下的中学数学 118
5.1 几何学的产生及其发展概述 118
5.1.1 从欧氏几何到非欧几何 118
5.1.2 射影几何 121
5.1.3 解析几何 122
5.1.4 微分几何和拓扑学 123
5.2 高等几何的基本内容和方法 124
5.2.1 仿射几何的基本内容和方法 124
5.2.2 射影几何的基本内容和方法 126
5.3 高等几何与初等几何的区别与联系 132
5.3.1 公理法下两种几何的区别与联系 132
5.3.2 变换群下两种几何学之间的关系 133
5.4 利用高等几何的原理和方法解决有关中学几何问题 136
5.4.1 仿射变换的应用 136
5.4.2 利用中心投影及交比解决初等几何问题 140
5.4.3 德萨格定理及完全四点形的调和性质的应用 142
5.4.4 与二次曲线有关的初等几何问题 143
思考题 145
第6章 数理逻辑观点下的中学简易逻辑 146
6.1 数理逻辑的产生及其对数学的方法论意义 146
6.2 命题逻辑和谓词逻辑 148
6.2.1 命题逻辑 148
6.2.2 谓词逻辑 151
6.3 对“简易逻辑”中一些问题的思考 155
6.3.1 简单命题与复合命题的区分 156
6.3.2 复合命题的构造 159
6.3.3 反证法的逻辑基础解读 163
思考题 167
第7章 组合数学观点下的中学数学 169
7.1 组合数学简说 169
7.1.1 组合数学概览 169
7.1.2 四色问题——从一道数学高考试题谈起 170
7.1.3 两个古老的问题 171
7.2 组合数学中的计数问题与中学数学竞赛 173
7.2.1 计数问题的基本内容 173
7.2.2 计数问题的原理和方法的应用举例 179
7.3 图论与中学数学竞赛 187
7.3.1 图的基本概念 187
7.3.2 几种特殊的图与中学数学竞赛 190
思考题 196
第8章 概率统计观点下的中学数学 197
8.1 引言 197
8.2 概率统计发展小史 197
8.2.1 概率论的起源与发展 197
8.2.2 数理统计的起源与发展 198
8.3 概率统计思想方法浅析 199
8.3.1 随机思想与概率大小 200
8.3.2 抽样与统计 201
8.3.3 统计规律与因果关系 201
8.3.4 估计与检验的思想 202
8.4 对中学概率统计教学的指导作用 207
8.4.1 确定性思维的转变——概率统计与数学的区别和联系 208
8.4.2 中学概率统计教学的问题和教学建议 209
思考题 217
思考题参考答案 218
参考文献 242
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