伊藤清概率论（修订版）

　　目录
　　第　1章 概率论的基本概念　1
　　1　概率空间的定义　1
　　2　概率空间的实际意义　3
　　3　概率测度的简单性质　5
　　4　事件，条件，推断　10
　　5　随机变量的定义　12
　　6　随机变量的合成与随机变量的函数　15
　　7　随机变量序列的收敛性　16
　　8　条件概率、相依性与独立性　21
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　　伊藤清 1915—2008，日本数学家，日本学士院院士，日本京都大学教授。随机分析的创始人之一，日本概率论研究的奠基者。曾任京都大学数理分析研究所所长，日本数学会理事长。他因在概率论方面的奠基性工作而获1987年的沃尔夫奖，并于1998年获得京都奖，2006年获得首届高斯奖。伊藤清的工作集中于概率论，特别是随机分析领域，他被誉为“现代随机分析之父”，因他命名的理论有伊藤引理、伊藤积分、伊藤过程等。他的研究不仅推动了现代数学的发展，还对物理学、经济学、统计学等学科产生了深远影响。著有《概率论》《随机过程》《我与概率论：伊藤清文集》等。

　　本书为日本数学家伊藤清创作的现代概率论著作。书中以*小限度的预备知识为前提，以简练的笔法系统讲解了测度论基础，以及现代概率论的基础体系与概念，为引导读者理解“随机过程”，特别是Markov过程做了细致准备。此外，本书还展示了“伊藤引理”的构想原点，收录了概率论发展的历史过程。对于背景知识较为薄弱的读者，作者则从各章的主要脉络上，为其准备了一条了解现代概率论轮廓的轻快之路。
　　本书适合相关专业的本科生、研究生和教师阅读学习，也适合作为数学、物理、金融等领域的研究者的参考资料。

　　目录
　　第　1章 概率论的基本概念　1
　　1　概率空间的定义　1
　　2　概率空间的实际意义　3
　　3　概率测度的简单性质　5
　　4　事件，条件，推断　10
　　5　随机变量的定义　12
　　6　随机变量的合成与随机变量的函数　15
　　7　随机变量序列的收敛性　16
　　8　条件概率、相依性与独立性　21
　　9　均值　26
　　第　2章 实值随机变量的概率分布　29
　　10　实值随机变量的表现　29
　　11　R-概率测度的表现　32
　　12　R-概率测度之间的距离　33
　　13　R-概率测度集合的拓扑性质　35
　　14　R-概率测度的数字特征　38
　　15　独立随机变量的和，R-概率测度的卷积　43
　　16　特征函数　46
　　17　R-概率测度及其特征函数的拓扑关系　50
　　第3章　概率空间的构成　54
　　18　建立概率空间的必要性　54
　　19　扩张定理(I)　55
　　20　扩张定理(II)　57
　　21　Markov 链　59
　　第4章　大数定律　63
　　22　大数定律的数学表现　63
　　23　Bernoulli 大数定律　65
　　24　中心极限定理　66
　　25　强大数定律　69
　　26　无规则性的含义　73
　　27　无规则性的证明　76
　　28　统计分布　81
　　29　重对数律与遍历定理　82
　　第5章　随机变量序列　84
　　30　一般的问题　84
　　31　条件概率分布　85
　　32　单纯Markov 过程与转移概率族　87
　　33　遍历问题的简单例子　89
　　34　遍历定理　92
　　第6章　随机过程　99
　　35　随机过程的定义　99
　　36　Markov 过程　101
　　37　时空齐次的Markov 过程(I)　103
　　38　时空齐次的Markov 过程(II)　112
　　39　一般Markov 过程与平稳过程　115
　　附录1　符号　119
　　附录2　参考文献　121
　　附录3　后记与评注　122
　　概要与背景　124
　　索引　144
^ 收 起　　

　　伊藤清 1915—2008，日本数学家，日本学士院院士，日本京都大学教授。随机分析的创始人之一，日本概率论研究的奠基者。曾任京都大学数理分析研究所所长，日本数学会理事长。他因在概率论方面的奠基性工作而获1987年的沃尔夫奖，并于1998年获得京都奖，2006年获得首届高斯奖。伊藤清的工作集中于概率论，特别是随机分析领域，他被誉为“现代随机分析之父”，因他命名的理论有伊藤引理、伊藤积分、伊藤过程等。他的研究不仅推动了现代数学的发展，还对物理学、经济学、统计学等学科产生了深远影响。著有《概率论》《随机过程》《我与概率论：伊藤清文集》等。

　　本书为日本数学家伊藤清创作的现代概率论著作。书中以*小限度的预备知识为前提，以简练的笔法系统讲解了测度论基础，以及现代概率论的基础体系与概念，为引导读者理解“随机过程”，特别是Markov过程做了细致准备。此外，本书还展示了“伊藤引理”的构想原点，收录了概率论发展的历史过程。对于背景知识较为薄弱的读者，作者则从各章的主要脉络上，为其准备了一条了解现代概率论轮廓的轻快之路。
　　本书适合相关专业的本科生、研究生和教师阅读学习，也适合作为数学、物理、金融等领域的研究者的参考资料。