计算

　　导论 ....................................................................................................................................1
　　第一部分 计算的诞生
　　第 1 章 毕达哥拉斯的困惑..............................................................................................24
　　数的计算 ..........................................................................…
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　　吴翰清，毕业于西安交通大学少年班。清华大学创新领军工程博士（人工智能方向，在读）。2005年加入阿里，创建了阿里巴巴、淘宝、支付宝的安全体系，也是阿里云初创团队成员，是阿里安全从无到有、从有到强的亲历者。2017年开始致力于城市大脑的研究与建设，专注于构建机器智能系统。2017年入选 MIT 全球青年科技创新人才榜，是中国互联网安全领域入选 TR35 的第一人。2019年入选「大数据文摘」评选的「30位新生代数字经济人才」。2019年当选中国青年科技工作者协会第六届理事。公益项目“计算图书馆”发起人。目前正致力于人工智能的研究和创业。

　　计算已经成为人们生活中不可或缺的组成部分，人类社会享受了计算技术的红利得以飞速发展。可以说当今的计算机科学和产业应用的成就是人类文明有史以来所有智慧的结晶。解释、澄清和发展“计算”这一重要概念，即本书之写作目的。本书从探索数学的起源开始，细数了数学史上三次危机的来龙去脉，逐渐引出计算理论的诞生和发展，以及这些过往是如何影响当今计算机科学最前沿方向的。最后本书从哲学层面探讨了计算的边界，将其视为人类需要继续探索的未解之谜。本书横跨了人类3000年的文明史，综合了数学、哲学、物理学、计算机科学、人工智能、复杂系统科学等多门学科，呈现出一种独特的计算主义的世界观。

　　导论 ....................................................................................................................................1
　　第一部分 计算的诞生
　　第 1 章 毕达哥拉斯的困惑..............................................................................................24
　　数的计算 .......................................................................................................................24
　　从数觉到计数 .......................................................................................................24
　　文明古国的计算 ...................................................................................................28
　　毕达哥拉斯学派 ...........................................................................................................30
　　柏拉图的理想世界 .......................................................................................................40
　　第一次数学危机 ...........................................................................................................44
　　无理数的发现 .......................................................................................................44
　　芝诺悖论：无穷之辩 ...........................................................................................46
　　演绎推理：逻辑学和几何学 .......................................................................................51
　　亚里士多德的逻辑学 ...........................................................................................51
　　欧几里得的《几何原本》 ...................................................................................55
　　悖论：推理的暗面 ...............................................................................................59
　　第 2 章 计算之术 ............................................................................................................62
　　代数：字符的计算 .......................................................................................................62
　　符号与代数 ...................................................................................................................63
　　零的诞生 ...............................................................................................................63
　　言辞代数 ...............................................................................................................65
　　未知量的表示 .......................................................................................................68
　　还原与对消 ...........................................................................................................70
　　代数符号 ...............................................................................................................73
　　求解多项式方程 ...........................................................................................................77
　　从数值解到代数解 ...............................................................................................77
　　三次方程的求根公式 ...........................................................................................81
　　不可约：复数的发现 ...........................................................................................84
　　数系的扩张 ...........................................................................................................89
　　代数基本定理 .......................................................................................................92
　　代数的结构 ...................................................................................................................94
　　求解一元五次方程 ...............................................................................................94
　　方程根的结构 .......................................................................................................95
　　伽罗瓦的遗珠 .....................................................................................................101
　　计算工具 .....................................................................................................................108
　　人类计算员 .........................................................................................................109
　　面向机器的计算思维 .........................................................................................111
　　第 3 章 莱布尼茨的计算之梦 ........................................................................................116
　　数理逻辑的创立 .........................................................................................................117
　　人类思想字母表 .........................................................................................................120
　　思想的大衍术 .....................................................................................................121
　　计算之梦 .....................................................................................................................125
　　思维规律的研究 .........................................................................................................127
　　19 世纪数理逻辑的复兴 ....................................................................................127
　　布尔的逻辑代数 .................................................................................................129
　　第二部分 计算的数学基础
　　第 4 章 数学的基础.......................................................................................................136
　　第二次数学危机 .........................................................................................................136
　　微积分的发明 .....................................................................................................136
　　消失的鬼魂：贝克莱悖论 .................................................................................139
　　分析的严格化 .....................................................................................................140
　　集合论的诞生 .............................................................................................................142
　　无穷大有多大 .....................................................................................................142
　　对角线方法 .........................................................................................................146
　　康托尔的超穷数 .........................................................................................................148
　　超穷基数与超穷序数 .........................................................................................148
　　连续统假设 .........................................................................................................152
　　算术的逻辑化 .............................................................................................................156
　　弗雷格的“概念文字” .....................................................................................156
　　自然数的定义 .....................................................................................................159
　　第 5 章 第三次数学危机 ...............................................................................................163
　　危机：罗素悖论 .........................................................................................................163
　　集合论悖论 .........................................................................................................163
　　自我指涉 .............................................................................................................165
　　悖论的解决方法 .................................................................................................168
　　逻辑主义进路 .............................................................................................................169
　　直觉主义进路 ...................................................................................................
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　　吴翰清，毕业于西安交通大学少年班。清华大学创新领军工程博士（人工智能方向，在读）。2005年加入阿里，创建了阿里巴巴、淘宝、支付宝的安全体系，也是阿里云初创团队成员，是阿里安全从无到有、从有到强的亲历者。2017年开始致力于城市大脑的研究与建设，专注于构建机器智能系统。2017年入选 MIT 全球青年科技创新人才榜，是中国互联网安全领域入选 TR35 的第一人。2019年入选「大数据文摘」评选的「30位新生代数字经济人才」。2019年当选中国青年科技工作者协会第六届理事。公益项目“计算图书馆”发起人。目前正致力于人工智能的研究和创业。

　　计算已经成为人们生活中不可或缺的组成部分，人类社会享受了计算技术的红利得以飞速发展。可以说当今的计算机科学和产业应用的成就是人类文明有史以来所有智慧的结晶。解释、澄清和发展“计算”这一重要概念，即本书之写作目的。本书从探索数学的起源开始，细数了数学史上三次危机的来龙去脉，逐渐引出计算理论的诞生和发展，以及这些过往是如何影响当今计算机科学最前沿方向的。最后本书从哲学层面探讨了计算的边界，将其视为人类需要继续探索的未解之谜。本书横跨了人类3000年的文明史，综合了数学、哲学、物理学、计算机科学、人工智能、复杂系统科学等多门学科，呈现出一种独特的计算主义的世界观。